• Lineare Abbildungen von Vektorräume ausführen können.

Einführung

Beispiel:

Die Funktion f bildet den R³; auf den R² ab. Dabei wird die Transformation durch die Matrix A beschrieben:
f: R³ -> R²
f: x -> y = A*x (fettgedruckt: Vektoren)
A := Matrix([[-1,0,8],[1,2,0]])

Konkret wird ein beliebiger Vektor r = Vector([x,y,z]) abgebildet. Gesucht ist der Bildvektor.
Ferner sollen die Einheitsvektoren in Koordinatenachsenrichtung abgebildet werden.
Bei den Bildvektoren sollen ihre Winkel zueinander und die Längen berechnet werden.
(Lösung: m305.mws)

Aufgaben:

• Die Funktion f bildet den R³; auf den R² ab. Dabei wird die Transformation durch die Matrix A beschrieben:
  f: R³ -> R²
  f: x -> y = A*x (fettgedruckt: Vektoren)
  A := Matrix([[2,1,-3],[0,-1,1]])
  
  a) Untersuchen sie f auf die Eigenschaften surjektiv, injektiv, bijektiv.
  b) Bestimmen Sie den Bildvektor von a := Vector([3,2,-1])
  c) Welcher Vektor b wird auf den Vektor bBild := Vector([-5,4]) abgebildet?
  (Lösung: m305.mws)

• Gegeben ist die Matrix A := Matrix([[1,0,0],[0,0,1],[0,1,0]]), der Punkt P(2,-3,1) und die Vektorform g (Es handelt sich um eine Gerade im 3-dim. Raum): r = Vector([2,1,-1]) + k*Vector([1,0,-2]).
  a) Die Matrix A beschreibt eine Transformation des Vektorraumes R³ auf sich selbst. Die Abbildungsgleichung ist A*x = y.
  Durch die beschriebene Abbildung werden nun der Punkt P und die Gerade g abgebildet. Berechnen Sie die Koordinaten des Bildpunktes P' und die Gleichung der Bildgeraden g'. Geben Sie die geometrische Wirkung der Abbildung mit eigenen Worten wieder. (Lösung: m305.mws)

Besprechung der Aufgaben

Zusammenfassung